Stein算法

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。

考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

• gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身
• gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除

有了上述规律就可以给出Stein算法如下：

1. 如果A=0，B是最大公约数，算法结束
2. 如果B=0，A是最大公约数，算法结束
3. 设置A₁ = A、B₁=B和C₁ = 1
4. 如果A_n和B_n都是偶数，则A_n+1 =A_n /2，B_n+1 =B_n /2，C_n+1 =C_n *2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
5. 如果A_n是偶数，B_n不是偶数，则A_n+1 =A_n /2，B_n+1 =B_n ，C_n+1 =C_n (很显然啦，2不是奇数的约数)
6. 如果B_n是偶数，A_n不是偶数，则B_n+1 =B_n /2，A_n+1 =A_n ，C_n+1 =C_n (很显然啦，2不是奇数的约数)
7. 如果A_n和B_n都不是偶数，则A_n+1 =|A_n -B_n|，B_n+1 =min(A_n,B_n)，C_n+1 =C_n
8. n++，转4

这个算法的原理很显然，所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。

考虑欧几里德算法，最恶劣的情况是，每次迭代a = 2b -1,这样，迭代后，r= b-1。如果a小于2^N，这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法，每次迭代后，显然A_N+1B_N+1≤ A_NB_N/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数Stein将更有优势。