# lib/sim.py class World(object): """World is a structure that holds the state of N bodies and additional variables. threads : (int) The number of threads to use for multithreaded implementations. STATE OF THE WORLD: N : (int) The number of bodies in the simulation. m : (1D ndarray) The mass of each body. r : (2D ndarray) The position of each body. v : (2D ndarray) The velocity of each body. F : (2D ndarray) The force on each body. TEMPORARY VARIABLES: Ft : (3D ndarray) A 2D force array for each thread's local storage. s : (2D ndarray) The vectors from one body to all others. s3 : (1D ndarray) The norm of each s vector. NOTE: Ft is used by parallel algorithms for thread-local storage. s and s3 are only used by the Python implementation. """ def __init__(self, N, threads=1, m_min=1, m_max=30.0, r_max=50.0, v_max=4.0, dt=1e-3): self.threads = threads self.N = N self.m = np.random.uniform(m_min, m_max, N) self.r = np.random.uniform(-r_max, r_max, (N, 2)) self.v = np.random.uniform(-v_max, v_max, (N, 2)) self.F = np.zeros_like(self.r) self.Ft = np.zeros((threads, N, 2)) self.s = np.zeros_like(self.r) self.s3 = np.zeros_like(self.m) self.dt = dt |
在开始模拟时，N体被随机分配质量m，位置r和速度v。对于每个时间步长，接下来的计算有：
合力F，每个体上的合力根据所有其他体的计算。
速度v，由于力的作用每个体的速度被改变。
位置R，由于速度每个体的位置被改变。
第一步是计算合力F，这将是我们的瓶颈。由于世界上存在的其他物体，单一物体上的力是所有作用力的总和。这导致复杂度为O（N^2）。速度v和位置r更新的复杂度都是O（N）。
如果你有兴趣，这篇维基百科的文章介绍了一些可以加快力的计算的近似方法。
纯Python
在纯Python中，使用NumPy数组是时间演变函数的一种实现方式，它为优化提供了一个起点，并涉及测试其他实现方式。
# lib/sim.py def compute_F(w): """Compute the force on each body in the world, w.""" for i in xrange(w.N): w.s[:] = w.r - w.r[i] w.s3[:] = (w.s[:,0]**2 + w.s[:,1]**2)**1.5 w.s3[i] = 1.0 # This makes the self-force zero. w.F[i] = (w.m[i] * w.m[:,None] * w.s / w.s3[:,None]).sum(0) def evolve(w, steps): """Evolve the world, w, through the given number of steps.""" for _ in xrange(steps): compute_F(w) w.v += w.F * w.dt / w.m[:,None] w.r += w.v * w.dt |
合力计算的复杂度为O（N^2）的现象被NumPy的数组符号所掩盖。每个数组操作遍历数组元素。
可视化
这里是7个物体从随机初始状态开始演化的路径图：
性能
为了实现这个基准，我们在项目目录下创建了一个脚本，包含如下内容：
import lib
w = lib.World(101)
lib.evolve(w, 4096)
我们使用cProfile模块来测试衡量这个脚本。
python -m cProfile -scum bench.py
前几行告诉我们，compute_F确实是我们的瓶颈，它占了超过99％的运行时间。
428710 function calls (428521 primitive calls) in 16.836 seconds Ordered by: cumulative time ncalls tottime percall cumtime percall filename:lineno(function) 1 0.000 0.000 16.837 16.837 bench.py:2(<module>) 1 0.062 0.062 16.756 16.756 sim.py:60(evolve) 4096 15.551 0.004 16.693 0.004 sim.py:51(compute_F) 413696 1.142 0.000 1.142 0.000 {method 'sum' ... 3 0.002 0.001 0.115 0.038 __init__.py:1(<module>) ... |
在Intel i5台式机上有101体，这种实现能够通过每秒257个时间步长演化世界。
简单的C扩展 1
在本节中，我们将看到一个C扩展模块实现演化的功能。当看完这一节时，这可能帮助我们获得一个C文件的副本。文件src/simple1.c，可以在GitHub上获得。
关于NumPy的C API的其他文档，请参阅NumPy的参考。Python的C API的详细文档在这里。
样板
文件中的第一件事情是先声明演化函数。这将直接用于下面的方法列表。
static PyObject *evolve(PyObject *self, PyObject *args);
接下来是方法列表。
static PyMethodDef methods[] = {
{ "evolve", evolve, METH_VARARGS, "Doc string."},
{ NULL, NULL, 0, NULL } /* Sentinel */
};
这是为扩展模块的一个导出方法列表。这只有一个名为evolve方法。
样板的最后一部分是模块的初始化。
PyMODINIT_FUNC initsimple1(void) {
(void) Py_InitModule("simple1", methods);
import_array();
}
另外，正如这里显示，initsimple1中的名称必须与Py_InitModule中的第一个参数匹配。对每个使用NumPy API的扩展而言，调用import_array是有必要的。
数组访问宏
数组访问的宏可以在数组中被用来正确地索引，无论数组被如何重塑或分片。这些宏也使用如下的代码使它们有更高的可读性。
#define m(x0) (*(npy_float64*)((PyArray_DATA(py_m) + \
(x0) * PyArray_STRIDES(py_m)[0])))
#define m_shape(i) (py_m->dimensions[(i)])
#define r(x0, x1) (*(npy_float64*)((PyArray_DATA(py_r) + \
(x0) * PyArray_STRIDES(py_r)[0] + \
(x1) * PyArray_STRIDES(py_r)[1])))
#define r_shape(i) (py_r->dimensions[(i)])
在这里，我们看到访问宏的一维和二维数组。具有更高维度的数组可以以类似的方式被访问。
在这些宏的帮助下，我们可以使用下面的代码循环r:
for(i = 0; i < r_shape(0); ++i) {
for(j = 0; j < r_shape(1); ++j) {
r(i, j) = 0; // Zero all elements.
}
}
命名标记
上面定义的宏，只在匹配NumPy的数组对象定义了正确的名称时才有效。在上面的代码中，数组被命名为py_m和py_r。为了在不同的方法中使用相同的宏，NumPy数组的名称需要保持一致。
计算力
特别是与上面五行的Python代码相比，计算力数组的方法显得颇为繁琐。
static inline void compute_F(npy_int64 N, PyArrayObject *py_m, PyArrayObject *py_r, PyArrayObject *py_F) { npy_int64 i, j; npy_float64 sx, sy, Fx, Fy, s3, tmp; // Set all forces to zero. for(i = 0; i < N; ++i) { F(i, 0) = F(i, 1) = 0; } // Compute forces between pairs of bodies. for(i = 0; i < N; ++i) { for(j = i + 1; j < N; ++j) { sx = r(j, 0) - r(i, 0); sy = r(j, 1) - r(i, 1); s3 = sqrt(sx*sx + sy*sy); s3 *= s3 * s3; tmp = m(i) * m(j) / s3; Fx = tmp * sx; Fy = tmp * sy; F(i, 0) += Fx; F(i, 1) += Fy; F(j, 0) -= Fx; F(j, 1) -= Fy; } } } |
请注意，我们使用牛顿第三定律（成对出现的力大小相等且方向相反）来降低内环范围。不幸的是，它的复杂度仍然为O（N^2）。
演化函数
该文件中的最后一个函数是导出的演化方法。
static PyObject *evolve(PyObject *self, PyObject *args) { // Declare variables. npy_int64 N, threads, steps, step, i; npy_float64 dt; PyArrayObject *py_m, *py_r, *py_v, *py_F; // Parse arguments. if (!PyArg_ParseTuple(args, "ldllO!O!O!O!", &threads, &dt, &steps, &N, &PyArray_Type, &py_m, &PyArray_Type, &py_r, &PyArray_Type, &py_v, &PyArray_Type, &py_F)) { return NULL; } // Evolve the world. for(step = 0; step< steps; ++step) { compute_F(N, py_m, py_r, py_F); for(i = 0; i < N; ++i) { v(i, 0) += F(i, 0) * dt / m(i); v(i, 1) += F(i, 1) * dt / m(i); r(i, 0) += v(i, 0) * dt; r(i, 1) += v(i, 1) * dt; } } Py_RETURN_NONE; } |
在这里，我们看到了Python参数如何被解析。在该函数底部的时间步长循环中，我们看到的速度和位置向量的x和y分量的显式计算。
性能
C版本的演化方法比Python版本更快，这应该不足为奇。在上面提到的相同的i5台式机中，C实现的演化方法能够实现每秒17972个时间步长。相比Python实现，这方面有70倍的提升。
观察
注意，C代码一直保持尽可能的简单。输入参数和输出矩阵可以进行类型检查，并分配一个Python装饰器函数。删除分配，不仅能加快处理，而且消除了由Python对象不正确的引用计数造成的内存泄露（或更糟）。
下一部分
在本系列文章的下一部分，我们将通过发挥C-相邻NumPy矩阵的优势来提升这种实现的性能。之后，我们来看看使用英特尔的SIMD指令和OpenMP来进一步推进。