思想比知识更重要成长比成功更重要

如何求素数

1。自然数是0，1，2……
2。素数是2，3，5……（不包括1的只能背1和它本身整除的自然数）

public class Test
{
/*
* 最普通的算法：
* 打印num以内的素数并返回素数个数
* n、m分别为外、内层循环，i是第几个素数，s是素数个数
*/
public int prime(int num){
  int n,m,i=0,s=0;
  label1:
  for(n=2;n<=num;n++)
  {
   for(m=2;m<=n/2;m++)
   {
    if(n%m==0)
    continue label1;
   }
   s++;
   i++;
   System.out.println("第"+i+"个素数是："+n);
  }
  return s;
}

public static void main(String args[]){
  Test test = new Test();
  int sum = test.prime(1000);
  System.out.println("共"+sum+"个素数");
}
}

【1】求10000以内的所有素数。
素数是除了1和它本身之外再不能被其他数整除的自然数。由于找不到一个通项公式来表示所有的素数，所以对于数学家来说，素数一直是一个未解之谜。像著名的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，几百年来不知吸引了世界上多少优秀的数学家。尽管他们苦心钻研，呕心沥血，但至今仍然未见分晓。
自从有了计算机之后，人们借助于计算机的威力，已经找到了2²¹⁶⁰⁹¹以内的所有素数。
求素数的方法有很多种，最简单的方法是根据素数的定义来求。对于一个自然数N，用大于1小于N的各个自然数都去除一下N，如果都除不尽，则N为素数，否则N为合数。
但是，如果用素数定义的方法来编制计算机程序，它的效率一定是非常低的，其中有许多地方都值得改进。
第一，对于一个自然数N，只要能被一个非1非自身的数整除，它就肯定不是素数，所以不
必再用其他的数去除。
第二，对于N来说，只需用小于N的素数去除就可以了。例如，如果N能被15整除，实际
上就能被3和5整除，如果N不能被3和5整除，那么N也决不会被15整除。
第三，对于N来说，不必用从2到N一1的所有素数去除，只需用小于等于√N(根号N)的所有素数去除就可以了。这一点可以用反证法来证明：
如果N是合数，则一定存在大于1小于N的整数d1和d2，使得N=d1×d2。
如果d1和d2均大于√N，则有：N＝d1×d2>√N×√N＝N。
而这是不可能的，所以，d1和d2中必有一个小于或等于√N。
基于上述分析，设计算法如下：
(1)用2，3，5，7逐个试除N的方法求出100以内的所有素数。
(2)用100以内的所有素数逐个试除的方法求出10000以内的素数。
首先，将2，3，5，7分别存放在a[1]、a[2]、a[3]、a[4]中，以后每求出一个素数，只要不大于100，就依次存放在A数组中的一个单元中。当我们求100—10000之间的素数时，可依次用a[1]－a[2]的素数去试除N，这个范围内的素数可以不保存，直接打印。

【2】用筛法求素数。
简单介绍一下厄拉多塞筛法。厄拉多塞是一位古希腊数学家，他在寻找素数时，采用了一种与众不同的方法：先将2－N的各数写在纸上：

在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于N的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 N的素数。

这很像一面筛子，把满足条件的数留下来，把不满足条件的数筛掉。由于这种方法是厄拉多塞首先发明的，所以，后人就把这种方法称作厄拉多塞筛法。
在计算机中，筛法可以用给数组单元置零的方法来实现。具体来说就是：首先开一个数组：a[i]，i=1，2，3，…，同时，令所有的数组元素都等于下标值，即a[i]=i，当i不是素数时，令a[i]=0 。当输出结果时，只要判断a[i]是否等于零即可，如果a[i]=0，则令i=i+1，检查下一个a[i]。
筛法是计算机程序设计中常用的算法之一。

【3】用6N±1法求素数。
任何一个自然数，总可以表示成为如下的形式之一：
6N，6N+1，6N+2，6N+3，6N+4，6N+5 (N=0，1，2，…)
显然，当N≥1时，6N，6N+2，6N+3，6N+4都不是素数，只有形如6N+1和6N+5的自然数有可能是素数。所以，除了2和3之外，所有的素数都可以表示成6N±1的形式(N为自然数)。
根据上述分析，我们可以构造另一面筛子，只对形如6 N±1的自然数进行筛选，这样就可以大大减少筛选的次数，从而进一步提高程序的运行效率和速度。

在程序上，我们可以用一个二重循环实现这一点，外循环i按3的倍数递增，内循环j为0－1的循环，则2(i+j)-1恰好就是形如6N±1的自然数。

posted @ 2006-11-16 10:58 保尔任阅读(407) | 评论 (0) | 编辑收藏

各种排序算法java实现

插入排序:

package org.rut.util.algorithm.support;

import org.rut.util.algorithm.SortUtil;
/**
* @author treeroot
* @since 2006-2-2
* @version 1.0
*/
public class InsertSort implements SortUtil.Sort{

    /* (non-Javadoc)
     * @see org.rut.util.algorithm.SortUtil.Sort#sort(int[])
     */
    public void sort(int[] data) {
        int temp;
        for(int i=1;i<data.length;i++){
            for(int j=i;(j>0)&&(data[j]<data[j-1]);j--){
                SortUtil.swap(data,j,j-1);
            }
        }
    }

}
冒泡排序:

package org.rut.util.algorithm.support;

import org.rut.util.algorithm.SortUtil;

/**
* @author treeroot
* @since 2006-2-2
* @version 1.0
*/
public class BubbleSort implements SortUtil.Sort{

    /* (non-Javadoc)
     * @see org.rut.util.algorithm.SortUtil.Sort#sort(int[])
     */
    public void sort(int[] data) {
        int temp;
        for(int i=0;i<data.length;i++){
            for(int j=data.length-1;j>i;j--){
                if(data[j]<data[j-1]){
                    SortUtil.swap(data,j,j-1);
                }
            }
        }
    }

}

选择排序:

package org.rut.util.algorithm.support;

import org.rut.util.algorithm.SortUtil;

/**
* @author treeroot
* @since 2006-2-2
* @version 1.0
*/
public class SelectionSort implements SortUtil.Sort {

    /*
     * (non-Javadoc)
     *
     * @see org.rut.util.algorithm.SortUtil.Sort#sort(int[])
     */
    public void sort(int[] data) {
        int temp;
        for (int i = 0; i < data.length; i++) {
            int lowIndex = i;
            for (int j = data.length - 1; j > i; j--) {
                if (data[j] < data[lowIndex]) {
                    lowIndex = j;
                }
            }
            SortUtil.swap(data,i,lowIndex);
        }
    }

}

Shell排序:

package org.rut.util.algorithm.support;

import org.rut.util.algorithm.SortUtil;

/**
* @author treeroot
* @since 2006-2-2
* @version 1.0
*/
public class ShellSort implements SortUtil.Sort{

    /* (non-Javadoc)
     * @see org.rut.util.algorithm.SortUtil.Sort#sort(int[])
     */
    public void sort(int[] data) {
        for(int i=data.length/2;i>2;i/=2){
            for(int j=0;j<i;j++){
                insertSort(data,j,i);
            }
        }
        insertSort(data,0,1);
    }

    /**
     * @param data
     * @param j
     * @param i
     */
    private void insertSort(int[] data, int start, int inc) {
        int temp;
        for(int i=start+inc;i<data.length;i+=inc){
            for(int j=i;(j>=inc)&&(data[j]<data[j-inc]);j-=inc){
                SortUtil.swap(data,j,j-inc);
            }
        }
    }

}

快速排序:

package org.rut.util.algorithm.support;

import org.rut.util.algorithm.SortUtil;

/**
* @author treeroot
* @since 2006-2-2
* @version 1.0
*/
public class QuickSort implements SortUtil.Sort{

    /* (non-Javadoc)
     * @see org.rut.util.algorithm.SortUtil.Sort#sort(int[])
     */
    public void sort(int[] data) {
        quickSort(data,0,data.length-1);
    }
    private void quickSort(int[] data,int i,int j){
        int pivotIndex=(i+j)/2;
        //swap
        SortUtil.swap(data,pivotIndex,j);

        int k=partition(data,i-1,j,data[j]);
        SortUtil.swap(data,k,j);
        if((k-i)>1) quickSort(data,i,k-1);
        if((j-k)>1) quickSort(data,k+1,j);

    }
    /**
     * @param data
     * @param i
     * @param j
     * @return
     */
    private int partition(int[] data, int l, int r,int pivot) {
        do{
           while(data[++l]<pivot);
           while((r!=0)&&data[--r]>pivot);
           SortUtil.swap(data,l,r);
        }
        while(l<r);
        SortUtil.swap(data,l,r);
        return l;
    }

}
改进后的快速排序:

package org.rut.util.algorithm.support;

import org.rut.util.algorithm.SortUtil;

/**
* @author treeroot
* @since 2006-2-2
* @version 1.0
*/
public class ImprovedQuickSort implements SortUtil.Sort {

    private static int MAX_STACK_SIZE=4096;
    private static int THRESHOLD=10;
    /* (non-Javadoc)
     * @see org.rut.util.algorithm.SortUtil.Sort#sort(int[])
     */
    public void sort(int[] data) {
        int[] stack=new int[MAX_STACK_SIZE];

        int top=-1;
        int pivot;
        int pivotIndex,l,r;

        stack[++top]=0;
        stack[++top]=data.length-1;

        while(top>0){
            int j=stack[top--];
            int i=stack[top--];

            pivotIndex=(i+j)/2;
            pivot=data[pivotIndex];

            SortUtil.swap(data,pivotIndex,j);

            //partition
            l=i-1;
            r=j;
            do{
                while(data[++l]<pivot);
                while((r!=0)&&(data[--r]>pivot));
                SortUtil.swap(data,l,r);
            }
            while(l<r);
            SortUtil.swap(data,l,r);
            SortUtil.swap(data,l,j);

            if((l-i)>THRESHOLD){
                stack[++top]=i;
                stack[++top]=l-1;
            }
            if((j-l)>THRESHOLD){
                stack[++top]=l+1;
                stack[++top]=j;
            }

        }
        //new InsertSort().sort(data);
        insertSort(data);
    }
    /**
     * @param data
     */
    private void insertSort(int[] data) {
        int temp;
        for(int i=1;i<data.length;i++){
            for(int j=i;(j>0)&&(data[j]<data[j-1]);j--){
                SortUtil.swap(data,j,j-1);
            }
        }
    }

}

归并排序:

package org.rut.util.algorithm.support;

import org.rut.util.algorithm.SortUtil;

/**
* @author treeroot
* @since 2006-2-2
* @version 1.0
*/
public class MergeSort implements SortUtil.Sort{

    /* (non-Javadoc)
     * @see org.rut.util.algorithm.SortUtil.Sort#sort(int[])
     */
    public void sort(int[] data) {
        int[] temp=new int[data.length];
        mergeSort(data,temp,0,data.length-1);
    }

    private void mergeSort(int[] data,int[] temp,int l,int r){
        int mid=(l+r)/2;
        if(l==r) return ;
        mergeSort(data,temp,l,mid);
        mergeSort(data,temp,mid+1,r);
        for(int i=l;i<=r;i++){
            temp[i]=data[i];
        }
        int i1=l;
        int i2=mid+1;
        for(int cur=l;cur<=r;cur++){
            if(i1==mid+1)
                data[cur]=temp[i2++];
            else if(i2>r)
                data[cur]=temp[i1++];
            else if(temp[i1]<temp[i2])
                data[cur]=temp[i1++];
            else
                data[cur]=temp[i2++];
        }
    }

}

改进后的归并排序:

package org.rut.util.algorithm.support;

import org.rut.util.algorithm.SortUtil;

/**
* @author treeroot
* @since 2006-2-2
* @version 1.0
*/
public class ImprovedMergeSort implements SortUtil.Sort {

private static final int THRESHOLD = 10;

    /*
     * (non-Javadoc)
     *
     * @see org.rut.util.algorithm.SortUtil.Sort#sort(int[])
     */
    public void sort(int[] data) {
        int[] temp=new int[data.length];
        mergeSort(data,temp,0,data.length-1);
    }

    private void mergeSort(int[] data, int[] temp, int l, int r) {
        int i, j, k;
        int mid = (l + r) / 2;
        if (l == r)
            return;
        if ((mid - l) >= THRESHOLD)
            mergeSort(data, temp, l, mid);
        else
            insertSort(data, l, mid - l + 1);
        if ((r - mid) > THRESHOLD)
            mergeSort(data, temp, mid + 1, r);
        else
            insertSort(data, mid + 1, r - mid);

        for (i = l; i <= mid; i++) {
            temp[i] = data[i];
        }
        for (j = 1; j <= r - mid; j++) {
            temp[r - j + 1] = data[j + mid];
        }
        int a = temp[l];
        int b = temp[r];
        for (i = l, j = r, k = l; k <= r; k++) {
            if (a < b) {
                data[k] = temp[i++];
                a = temp[i];
            } else {
                data[k] = temp[j--];
                b = temp[j];
            }
        }
    }

    /**
     * @param data
     * @param l
     * @param i
     */
    private void insertSort(int[] data, int start, int len) {
        for(int i=start+1;i<start+len;i++){
            for(int j=i;(j>start) && data[j]<data[j-1];j--){
                SortUtil.swap(data,j,j-1);
            }
        }
    }

}
堆排序:

package org.rut.util.algorithm.support;

import org.rut.util.algorithm.SortUtil;

/**
* @author treeroot
* @since 2006-2-2
* @version 1.0
*/
public class HeapSort implements SortUtil.Sort{

    /* (non-Javadoc)
     * @see org.rut.util.algorithm.SortUtil.Sort#sort(int[])
     */
    public void sort(int[] data) {
        MaxHeap h=new MaxHeap();
        h.init(data);
        for(int i=0;i<data.length;i++)
            h.remove();
        System.arraycopy(h.queue,1,data,0,data.length);
    }

     private static class MaxHeap{


        void init(int[] data){
            this.queue=new int[data.length+1];
            for(int i=0;i<data.length;i++){
                queue[++size]=data[i];
                fixUp(size);
            }
        }

        private int size=0;

        private int[] queue;

        public int get() {
            return queue[1];
        }

        public void remove() {
            SortUtil.swap(queue,1,size--);
            fixDown(1);
        }
        //fixdown
        private void fixDown(int k) {
            int j;
            while ((j = k << 1) <= size) {
                if (j < size && queue[j]<queue[j+1])
                    j++;
                if (queue[k]>queue[j]) //不用交换
                    break;
                SortUtil.swap(queue,j,k);
                k = j;
            }
        }
        private void fixUp(int k) {
            while (k > 1) {
                int j = k >> 1;
                if (queue[j]>queue[k])
                    break;
                SortUtil.swap(queue,j,k);
                k = j;
            }
        }

}

SortUtil:

package org.rut.util.algorithm;

import org.rut.util.algorithm.support.BubbleSort;
import org.rut.util.algorithm.support.HeapSort;
import org.rut.util.algorithm.support.ImprovedMergeSort;
import org.rut.util.algorithm.support.ImprovedQuickSort;
import org.rut.util.algorithm.support.InsertSort;
import org.rut.util.algorithm.support.MergeSort;
import org.rut.util.algorithm.support.QuickSort;
import org.rut.util.algorithm.support.SelectionSort;
import org.rut.util.algorithm.support.ShellSort;

/**
* @author treeroot
* @since 2006-2-2
* @version 1.0
*/
public class SortUtil {
public final static int INSERT = 1;

public final static int BUBBLE = 2;

public final static int SELECTION = 3;

public final static int SHELL = 4;

public final static int QUICK = 5;

public final static int IMPROVED_QUICK = 6;

public final static int MERGE = 7;

public final static int IMPROVED_MERGE = 8;

public final static int HEAP = 9;

    public static void sort(int[] data) {
        sort(data, IMPROVED_QUICK);
    }
    private static String[] name={
            "insert","bubble","selection","shell","quick","improved_quick","merge","improved_merge","heap"
    };

    private static Sort[] impl=new Sort[]{
            new InsertSort(),
            new BubbleSort(),
            new SelectionSort(),
            new ShellSort(),
            new QuickSort(),
            new ImprovedQuickSort(),
            new MergeSort(),
            new ImprovedMergeSort(),
            new HeapSort()
    };

    public static String toString(int algorithm){
        return name[algorithm-1];
    }

    public static void sort(int[] data, int algorithm) {
        impl[algorithm-1].sort(data);
    }

    public static interface Sort {
        public void sort(int[] data);
    }

    public static void swap(int[] data, int i, int j) {
        int temp = data[i];
        data[i] = data[j];
        data[j] = temp;
    }
}

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