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棋盘的表示
David Eppstein */文
* 加州爱尔文大学(UC Irvine)信息与计算机科学系
要让机器下棋，程序首先必须对两个对象进行存储和操作，它们是局面和着法。这两个对象的表示使得程序可以进行下列操作：
(1) 执行一个着法(不仅仅是用户所指出的着法，而是在搜索过程中要用到的)；
(2) 撤消一个着法(作用同上)；
(3) 向用户显示棋盘；
(4) 产生所有可能的着法；
(5) 对棋盘的局面作出评估。
除了显示棋盘以外，所有的操作都应该尽可能地迅速，因为它们会在搜索的循环内被调用。(而显示棋盘的操作毕竟不是经常要做的。【译注：在UCI协议(国际象棋通用引擎协议)中，引擎从不显示棋盘，因此这个操作事实上是多余的。】)
着法的内部表示应该是非常简洁的(因为我们不需要花太多的时间来生成一系列着法)而且能快速解读，但是非常重要的是，它应该能代表所有的着法！在国际象棋中，机器内典型的着法表示，就是记录移动棋子的起点格子和终点格子，例如王前兵进两格就表示为“e2e4”(e2代表这个兵起点位置而e4代表终点位置)。不管是否吃子，被吃的棋子都不必记录，因为它可以由终点格子来判断。在机器中位置能表示为6位的数值，所以一个着法可以用2个字节表示。尽管很多程序都是这样表示的，但是这种表示方法不足以表示所有的着法！王车易位时，有两个子要移动，此时我们把它当作特殊情况来考虑，只记录王的移动。问题在于，当兵从第七行走到第八行时，可以升变为后、车、马或象，上述表示方法不能让我们指定升变为哪个棋子。因此在设计着法表示时需要非常仔细，要确认这种表示能够涵盖棋局中所有可能发生的特殊情况。
【一般而言，棋类的着法有两种形式，即添子式和移动式。五子棋、围棋、黑白棋等属于添子式，记录着法时只要记录棋子所下到的那个格子。其中五子棋最简单，下完的棋子不再会改变；黑白棋稍复杂些，下完的棋子可能会被后续着法所变换黑白，但每下一子棋盘上就多一子；围棋是最复杂的，由于存在提子的着法，所以局势是可逆的，打劫这样的着法需要很复杂的处理过程。
国际象棋和中国象棋都属于移动式，相比较而言中国象棋更简单，当一个棋子从起点移到终点时，只要简单地做一下终点的覆盖即可；而国际象棋由于三条特殊规则的存在而必须做特别处理，有时别的特殊位置的棋子要跟着移动(王车易位)，有时别的特殊位置的子要被吃掉(吃过路兵)，有时移动的棋子要被其他棋子所替代(升变)。】
棋盘的表示可能稍许复杂了些，但也不应该太庞大。它必须包括所有相关的信息，而不仅仅是表观上的，但无关的信息不包括在其中。例如在国际象棋里，我们必须知道棋子在棋盘上的位置(表观上的信息)，而且需要知道一些不可见的信息——现在是谁在走，每方是否还有易位权，哪个过路兵可以吃，从吃子或进兵到现在一共走了多少步。我们还需要知道以前发生过哪些重复的局面(因为三次重复局面即导致和棋)，而不需要知道以前所有的着法。
【在网络通讯中常常用一种称为FEN串的6段式代码来记录局面，在国际象棋中它的6段代码依次为：棋盘、走子方、王车易位权、吃过路兵的目标格、可逆着法数以及总回合数，基本上涵盖了国际象棋某个局面的所有信息。但是FEN字符串无法记录重复局面，因此UCI协议中规定，局面由棋局的最后一个不可逆局面(发生吃子、进兵或升变的局面)和它的后续着法共同表示，这样就涵盖了重复局面的信息。】
举例说明国际象棋中的诸多棋盘表示方法
国际象棋中有很多表示棋盘的方法，以下这些是程序中可能用到的：
一、棋盘格子的8x8数组
每个格子的值代表格子中的棋子(例如：enum { empty, wK, wN, wB, wR, wQ, wP, bK, bN, bR, bQ, bP })。它的优点在于：(1) 简单；(2) 容易计算子力价值：
for (i = 0; i < 8; i ++)
for( j = 0; j < 8; j ++)
score += value[square[i, j]];
计算可能的着法有些麻烦但并不非常困难，可以找遍棋盘的每个格子，根据棋子的颜色和类型来做分枝：
for (i = 0; i < 8; i++) {
for(j = 0; j < 8; j++) {
switch (board[i, j]) {
case wP:
if (board[i + 1, j] = empty) {
生成到(i + 1, j)的着法;
}
if (i == 2 && board[i + 1, j] == empty && board[i + 2, j] empty) {
生成到(i + 2, j)的着法;
}
if (j > 0 && board[i + 1, j - 1]有黑子) {
生成吃(i + 1, j - 1)子的着法;
}
if (j < 7 && board[i + 1, j + 1]有黑子) {
生成吃(i + 1, j + 1)子的着法;
}
break;
...
}
}
}
但是很多检测边界的判断(例如，兵在车一路就不能吃更外侧的子)，使得代码非常复杂，速度非常缓慢。
二、扩展数组
包括扩展边界的10x10数组，在棋子类型中应包括“boundary”这个值。这样就可以花很少的代价，来简化一些判断。【在下面提到的0x88方法问世以前，最普遍的做法却是用12x12的数组(即有双重的扩展边界)，这样连马的着法也不用担心跳出棋盘了。】
三、0x88
这个名称来自一个技巧——通过判断格子编码是否包含136这个数(在16进制中是0x88)来检测着法是否合理。下表就是格子的编码(用一个字节)，高4位表示行，低4位表示列。
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| 120 |
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| 64 |
65 |
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| 48 |
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| 0 |
1 |
2 |
3 |
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7 |
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- 这样，格子i的左边一格是i - 1，右边是i + 1，上边是i + 16，下边是i - 16，等等。棋盘被表示为128个格子的数组(其中64格代表棋盘上存在的格子)，这种表示的优势在于：(1) 数组仅用1个指标，这样写的程序要比用2个指标快；(2) 可以快速简单地判断某个格子i是否在棋盘上——当且仅当(i & 0x88) == 0时i在棋盘上。(因为列超出范围时i & 0x08不为零，而行超出范围时i & 0x80不为零。)这是一个非常有效而且常用的技巧。
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- 四、位棋盘
- 我必须在这里多花些笔墨，因为这个技术还不被人所熟悉，但是我认为它可能会很好用的。以前用一个格子数组，每个元素含有一个棋子，现在取而代之的是一个棋子数组，每个元素代表棋盘上哪几个格子有这个棋子，按位压缩表示。由于棋盘上有64个格子，所以棋盘可以压缩成一个64位的字(即两个32位的字)。这种表示最大的优势在于，可以通过布尔操作(位操作)来加快局面评估和着法生成操作的速度。试想一下，如此烦琐的事情可以用压缩的字运算来解决，例如下面的局面：
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- 白方的兵(这个64位数字记作wP)应该由这些位构成：
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- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 1 0 0
- 0 0 0 0 0 1 0 0
- 0 0 0 0 1 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 1 1 1 0 0 0 0 1
- 0 0 0 0 0 0 0 0
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- 而被黑方占据的格子可以用下面的公式来计算：
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- bOcc = bP | bN | bB | bR | bQ | bK
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- (这里bP等等代表黑方不同兵种的棋子)，类似地可以计算白方占据的格子，还可以把这两个格子作“或”运算得到所有被占的格子。这些白兵前进一格可能到达的格子，可以用下面的公式计算：
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- single_pawn_moves = (wP << 8) & ~occupied
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- 现在仔细看一下过程，先将wP左移8位，来产生每个兵前面的格子：
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- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 1 0 0
- 0 0 0 0 0 1 0 0
- 0 0 0 0 1 0 0 0
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- 1 1 1 0 0 0 0 1
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
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- 然后求被占格子的“非”运算得到空的格子：
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- 0 0 1 1 0 0 1 0
- 1 0 1 0 1 0 0 0
- 1 1 1 0 0 0 1 1
- 1 0 1 1 1 0 1 1
- 1 0 1 1 0 1 1 1
- 1 0 1 1 1 0 1 1
- 0 0 0 1 1 1 1 0
- 0 1 0 1 0 0 1 0
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- 对以上两个位棋盘按位作“与”运算，就得到这些兵前面的没有被占的格子了：
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- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 1 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 1 0 1 0 0 0 0 1
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
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- 参照兵走一格的方法，可以找到兵走两格的着法，即再左移8位，“与”上没有子的格子，再“与”上一个只有第四行都占满的常数棋盘(这是兵走两格能到达的唯一一行)：
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- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 1 1 1 1 1 1 1 1
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 0 0 0 0
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- 值得注意的是，这个常数棋盘是在编译的时候生成的，而不需要在每次着法生成的时候再计算出来。兵吃子的情况也类似，先左移7位或9位，再“与”上一个常数棋盘以过滤左边线或右边线的格子【对于左移7位产生吃右边子时，需要考虑子在右边线的情况，此时左移7位是同一行的左边线，因此需要排除这个格子，即“与”上一个常数棋盘，代表除左边线以外的所有格子】，最后“与”上bOcc【前面提到过这个棋盘，代表黑子所占的格子】。
- 位棋盘这个技术不能简化代码，但是它能一次就产生兵的所有着法，而不是一次只产生一个着法。此外，这个过程中有些表达式需要多次反复使用(例如bOcc)，但只要计算一次就可以了。因此，位棋盘最终变得非常高效，在棋子数比国际象棋少的棋类中，我想位棋盘的效果会更好。
- 有个复杂的问题产生了：计算位棋盘中有多少非零位，或者找到【最低或最高的】一个非零位(例如把兵可以到达的位棋盘转化为一系列着法)，这些操作往往非常重要。计算位数的操作可以一次计算一个字节，做一个长度为256的数组，每个元素代表它的指标所含有多少个非零位，然后通过查表来完成。在找到一个非零位的计算中有个技巧：x ^ (x - 1)(“^”代表异或)，会得到一个二进制为...000111...的数，x ^ (x - 1)的第一位就是x的最后一位非零位。如果要求得这个数字【x ^ (x - 1)，即型如...000111...的数】的第一位，就把它对某个特定的数M取余数(不同的...000111...这样的数对M取余数必须不同)，然后去查表。例如，以下的代码可以找到一个字节的最后一个非零位：
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- int T = { -1, 0, 7, 1, 3, -1, 6, 2, 5, 4, -1, -1 };
- int last_bit(unsigned char b) {
- return T[(b^(b-1)) % 11];
- }
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- 【把原作者提到的这个技巧扩展到16位或32位的情况，不妨可以试探一下(只要找得到合适的除数即可)。但是原作者没有充分考虑计算机的运算特点，因此译者认为这不是一个合理的设计。由于“电脑一做除法就成了傻瓜”，所以代码中取余数的过程严重影响了效率，为此译者收集了一些使用炫技的程序，可以迅速完成求位数和查找位的操作。
- (1) 求一个32位数中有几位非零位的运算——Count32操作：
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- int Count32(unsigned long Arg) {
- Arg = ((Arg >> 1) & 0x55555555) + (Arg & 0x55555555);
- Arg = ((Arg >> 2) & 0x33333333) + (Arg & 0x33333333);
- Arg = ((Arg >> 4) & 0x0f0f0f0f) + (Arg & 0x0f0f0f0f);
- Arg = ((Arg >> 8) & 0x00ff00ff) + (Arg & 0x00ff00ff);
- return (Arg >> 16) + (Arg & 0x0000ffff);
- }
-
- (2) 求最低位非零位是第几位的运算——Lsb32操作(LSB = Least Significant Bit)：
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- int Lsb32(unsigned long Arg) {
- int RetVal = 31;
- if (Arg & 0x0000ffff) { RetVal -= 16; Arg &= 0x0000ffff; }
- if (Arg & 0x00ff00ff) { RetVal -= 8; Arg &= 0x00ff00ff; }
- if (Arg & 0x0f0f0f0f) { RetVal -= 4; Arg &= 0x0f0f0f0f; }
- if (Arg & 0x33333333) { RetVal -= 2; Arg &= 0x33333333; }
- if (Arg & 0x55555555) RetVal -=1;
- return RetVal;
- }
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- (3) 求最高位非零位是第几位的运算——Msb32操作(MSB = Most Significant Bit)：
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- int Msb32(unsigned long Arg) {
- int RetVal = 0;
- if (Arg & 0xffff0000) { RetVal += 16; Arg &= 0xffff0000; }
- if (Arg & 0xff00ff00) { RetVal += 8; Arg &= 0xff00ff00; }
- if (Arg & 0xf0f0f0f0) { RetVal += 4; Arg &= 0xf0f0f0f0; }
- if (Arg & 0xcccccccc) { RetVal += 2; Arg &= 0xcccccccc; }
- if (Arg & 0xaaaaaaaa) RetVal += 1;
- return RetVal;
- }
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- 对64位数字进行操作，把它分解成两个32位字，分别对两个字调用上面的函数就可以了。如果程序能运行在64位的处理器上，只要对上面三个函数略加改动就可以了。】
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- 如何撤消着法？
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- 还记得吗？我们说过在棋盘表示方法中需要涉及撤消着法的操作。现在有两种解决方案：(1) 用一个堆栈来保存棋盘，执行一个着法前先将棋盘压入堆栈，撤消着法就从堆栈弹出棋盘，恐怕这太慢了…… (2) 用一个堆栈来保存着法，执行一个着法前先将该着法及其相关信息压入堆栈，撤消着法就根据该着法还原棋盘及其相关信息。例如，在国际象棋中只要保存被吃的棋子(如果吃子的话)，以及王车易位和吃过路兵的权利等信息。
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- 重复检测
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- 某些棋类在发生重复局面时要用到特殊的规则，如围棋和国际象棋(在国际象棋中，第三次出现重复局面时，制造重复局面的一方就有权宣布和棋)。那么如何知道是否出现重复局面呢？答案很简单：用散列函数把局面转换成一个相当大的数(我们以后要谈到这个问题，因为这个技术还可以加快搜索速度)，然后保存一系列前面出现过的局面的散列值，从这些值里面找就是了。一个典型的散列函数，先随机产生一张64x13的表，如果棋子y在位置x上，就把表中[x, y]这个数加到散列值上(忽略溢出)[即Zobrist值]。值得注意的是，当棋子y从位置x走到位置z时，可以快速地更新散列值：减去[x, y]并加上[z, y]即可。
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