一、主元素问题
设T[0..n-1]是n个元素的数组。对任一元素x，设S(x)={i|T[i]=x}。当|S(x)|>n/2时，称x为T的主元素。
1) 如果T中元素存在序关系，按分治策略设计并实现一个线性时间算法，确定T[0..n-1]是否有一个主元素。
2) 若T中元素不存在序关系，只能测试任意两个元素是否相等，试设计并实现一个O(nlogn)有效算法，确定T是否有一个主元素。进一步，能找到一个线性时间算法吗？
注：实现的算法要求列出足够的实验结果。
1) 基于分治法的线性时间求主元素算法
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算法思想
中位数：数列排序后位于最中间的那个数。如果一个数列有主元素,那么必然是其中位数。求一个数列有没有主元素，只要看中位数是不是主元素。
找中位数的方法:选择一个元素作为划分起点，然后用快速排序的方法将小于它的移动到左边，大于它的移动到右边。这样就将元素划分为两个部分。此时，划分元素所在位置为k。如果k>n/2，那么继续用同样的方法在左边部分找；如果k<n/2就在右边部分找；k=n/2就找到了中位元素。
根据快速排序的思想，可以在平均时间复杂度为O(n)的时间内找出一个数列的中位数。然后再用O(n)的时间检查它是否是主元素。
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算法实现
对应的Java程序在MajorElement.java中
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判断是否是主元素的伪代码:
master(A):
len
← length[A]
median
←
randomizedSelect(A , 0 , n - 1 , n/2); ▹求中位数
cnt
← 0
▹计算中位数出现次数
for
i ← 0 to len – 1
do if A[i] = median
then cnt ← cnt + 1
if
cnt > n/2
then print "主元素:" +median + "出现次数:"
+ cnt
else print "无主元素"
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找一个序列中第k大的数伪代码
randomizedSelect(A , p , q , k):
r
←
randomizedPartition (p , q)
▹找出划分元素r
if
r = k
then return A[r]
else if r > k
then randomizedSelect(A , p , r – 1, k)
else randomizedSelect(A , r + 1 , q , k)
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实现随机划分的伪代码:
randomizedPartition(A , p , q ):
rand ← random(p
, q)
exchange
A[rand] ↔A[q]
return
partition(p , q)
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基于快速排序思想的划分伪代码:
partition(A , p , q ):
pivot
← A[q]
i
← p – 1
for
j ← p to q – 1
do
if A[j] <= pivot
then i ← i + 1
exchange
A[i] ↔ A[j]
exchange
A[i + 1] ↔ A[q]
return
i + 1
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■
时间复杂度分析
master()中求中位数可以在平均时间复杂度为O(n)的时间内完成,检查中位数是否是主元素耗时O(n),所以时间复杂度为O(n)。
2) 无序关系时求主元素的O(nlgn)的算法
■
算法思想
若T 中存在主元素，则将T 分为两部分后，T 的主元素也必为两部分中至少一部分的主元素，因此可用分治法。
将元素划分为两部分，递归地检查两部分有无主元素。算法如下：
a. 若T 只含一个元素，则此元素就是主元素，返回此数。
b. 将T 分为两部分T1 和T2（二者元素个数相等或只差一个），分别递归调用此方法求其主元素m1 和m2。
c. 若m1 和m2 都存在且相等，则这个数就是T 的主元素，返回此数。
d. 若m1 和m2 都存在且不等，则分别检查这两个数是否为T 的主元素，若有则返回此数，若无则返回空值。
e. 若m1 和m2 只有一个存在，则检查这个数是否为T 的主元素，若是则返回此数，若否就返回空值。
f. 若m1 和m2 都不存在，则T 无主元素，返回空值。
■
算法实现
相应的Java程序在MasterElement.java中
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O(nlgn)的算法伪代码:
▹求T[p..q]中的主元素。返回主元素及其出现次数或空(表示无主元素)
CheckMaster(T , p , q):
if
p ← q
then
return T[p] and 1
len
← q – p + 1
r
← p + len / 2
a
and numa ← CheckMaster(T , p , r – 1)
b
and numb ← CheckMaster(T , r , q)
if
a = NIL and b = NIL
then
return NIL
if
a = NIL and b ≠ NIL
then
return CheckAnotherPart(T , len , p , r – 1 , b , numb)
if
a ≠ NIL and b = NIL
then
return CheckAnotherPart(T , len , r , q , a , numa)
if
a ≠ NIL and b ≠ NIL
then
if a = b
then numa ← numa + numb
return a and numa
else
re ← CheckAnotherPart(T , len , p , r – 1 , b ,numb)
if re ≠ NIL
then
return re
else
return CheckAnotherPart(T, len, r, q, a, numa)
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▹检查候选主元素是否是主元素
CheckAnotherPart(T , len , p , q , c ,
numc):
numc
← CheckNum(T , p , q , c) + numc
if
num > len/2
then
return c and numc
else
return NIL
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----------------------------------------------------------------------------------------
▹计算T[p..q]中element出现的次数
CheckNum( T , p , q , element):
cnt
← 0
for
i ← p to q
do
if T[i] = element
then
cnt ← cnt + 1
return
cnt
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■
时间复杂度分析
T(n)=2T(n/2)+n
所以时间复杂度为O(nlgn)
3)无序关系时求主元素的O(n)算法
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算法思想
在一个集合中，删除两个不同的数，则集合的主元素保持不变。根据这个原理，可以很快求出主元素。
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算法实现
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相应的Java程序在MainElement.java中
master(A):
n
← length[A]
count
← 1
seed
← A[0]
▹找候选主元素
for
i ← 1 to n – 1
do
if A[i] = seed
then count ← count + 1
else if count > 0
then count ← count – 1
else seed ← A[i]
▹查找候选主元素是否是主元素
count
← 0
for
i ← 0 to n – 1
do if A[i] = seed
then count ← count + 1
if
count > n/2
then return seed and count
else return NIL
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时间复杂度分析
时间复杂度为O(n)
4)算法测试
对前面三个求主元素算法，使用测试数据进行测试:
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测试数组
|
结果
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|
0,0,1,1,0,8,1,1,1
|
主元素:1出现次数:5
|
|
13,17,26,3,5,2,17,3
|
无主元素
|
|
1,2,3,4,5,6,7,8
|
无主元素
|
|
1,0,0,1,0,2,0
|
主元素:0 出现次数:4
|
|
1,3,4,1,2,1,1,4,0,1,1,1
|
主元素:1 出现次数:7
|
|
0,1,1
|
主元素:1 出现次数:2
|
|
13,17,26,3,5,2,17,3,3,3,3,3,3
|
主元素:3 出现次数:7
|
|
100,58
|
无主元素
|
|
597
|
主元素:597 出现次数:1
|
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6,1,2,2,2,3,5
|
无主元素
|
|
7,7,7,7,7,7
|
主元素7 出现次数:6
|
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5,9,45,96,77,28,13
|
无主元素
|