Posted on 2007-07-27 19:36
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Mathematics
1. Peano 系统
Peano系统是满足以下公设的有序三元组<M, F, e>,其中M为一个集合,F为M到M的函数,e为首元素。5条公设为:
(1) e ∈M
(2) M在F下是封闭的
(3) e ¢ ranF (暂时只找到这个符号表示“不属于” 囧)
(4) F是单射的
(5) 如果M的子集A满足 (e属于A) 且 (A在F下是封闭的),则A=M
(5)称为极小性公设
2. 设A为一个集合,称 A∪{A} 为A的后继,记作A+, 并称求集合的后继为后继运算。
3. 设A为一个集合,若A满足:
(1) Ø ∈A,
(2) 若对于一切 a ∈A,则 a+ ∈A,
则称A是归纳集。
4. 从归纳集的定义可以看出,Ø,Ø+, Ø++,... 是所有归纳集的元素,于是可以将它们定义成自然数。
自然数是属于每个归纳集的集合,将Ø,Ø+, Ø++,...分别记为0, 1, 2, ...
设D={v | v是归纳集|,称∩D为全体自然数集合,记为N.
设N为自然数集合,σ: N -> N,且σ(n) = n+, 则<N, σ, Ø>是Peano系统。
这个Peano系统的第(5)条公设提出了证明自然数性质的一种方法,即数学归纳法,称此公设为数学归纳法原理。