【题说】
1996
年北京市赛高一复试题
5
.
【证】(
1
)不妨设
a
、
b
、
c
中
a
为最大.
因为
2
(
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
)
-
(
a
4
+b
4
+c
4
)
=
(
2ab
)
2
-
(
a
2
+b
2
-c
2
)
2
≥
0
所以
2ab
≥
a
2
+b
2
-c
2
a
2
+b
2
+c
2
=
(
a
2
+b
2
-c
2
)
+2c
2
≤
2ab+2c
2
≤
2
(
ab+bc+ca
)
(
2
)(
*
)的逆命题:设
a
、
b
、
c
是非负实数.如果
a
2
+b
2
+c
2
≤
2
(
ab+bc+ca
),
则
a
4
+b
4
+c
4
≤
2
(
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
)
这逆命题不真,例如
a=4
,
b=c=1
时
a
2
+b
2
+c
2
=2
(
ab+bc+ca
)
=18
而
a
4
+b
4
+c
4
=258
>
2
(
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
)
=66
【评注】
a
4
+b
4
+c
4
<
2
(
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
)是
a
、
b
、
c
构成三角形的充分必要条件
,而且在构成三角形时,设三角形面积为Δ,则
16
Δ
2
=2
(
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
)
-a
4
-b
4
-c
4
>
0
这是我在找资料的时候偶尔看到的,觉得也许以后有用得到的时候,所以就摘录了下来。
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posted on 2007-03-29 13:32
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