公理：“任何一个图形在二元平面内最多只能与另外三个图形两两互相有边界。”
证明：
1、既然有边界，显然得从两个图形（分别为图形A、B）开始讨论。通过画图，我们可以发现，在同一个平面内，两个图形要有边界，只有两种情况，一种一个图形包含另一个图形，一种为不包含。A包含B，A不包含B。当A包含B时，显然B不能再与其他任何图形有共同边界，公理成立。
2、A不包含B。再加入一个图形C。C和A、B的关系只能有三种，分别为，C包含A、B；C包含A、B中的任意一个图形；A、B、C互不包含。
先看第一种，C包含A、B。显然A、B不能再与其他图形有共同边界，公理成立。再看第二种，C包含A、B中的任意一个图形，显然被包含的图形不能与其他图形有共同的边界；公理成立。
3、A、B、C互不包含。再加入图形D。D与A、B、C存在四种关系。分别为：D包含A、B、C；D包含A、B、C中的任意一个；D包含A、B、C中的任意一个；A、B、C、D互不包含。有1、2的论证，同理可得，前三种关系都能证明公理成立。
4、A、B、C、D。根据画图，可以证明此种情况不存在。
5、公理得证。
哈，论证过程可能不是太严谨，希望有学数学的人能把我的整个过程论证变得严谨一点。
posted on 2006-08-18 11:13
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