什么是最长递增子序列呢?
问题描述如下:
设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。
对于这个问题有以下几种解决思路:
1、把a1,a2,...,an排序，假设得到a'1,a'2,...,a'n，然后求a的a'的最长公共子串，这样总的时间复杂度为o(nlg(n))+o(n^2)=o(n^2);
2、动态规划的思路：
另设一辅助数组b,定义b[n]表示以a[n]结尾的最长递增子序列的长度，则状态转移方程如下：b[k]=max(max(b[j]|a[j]<a[k],j<k)+1,1);
这个状态转移方程解释如下：在a[k]前面找到满足a[j]<a[k]的最大b[j],然后把a[k]接在它的后面，可得到a[k]的最长递增子序列的长度，或者a[k]前面没有比它小的a[j]，那么这时a[k]自成一序列，长度为1.最后整个数列的最长递增子序列即为max(b[k] | 0<=k<=n-1);
实现代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int i,j,n,a[100],b[100],max;
while(cin>>n)
{
for(i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
b[0]=1;//初始化，以a[0]结尾的最长递增子序列长度为1
for(i=1;i<n;i++)
{
b[i]=1;//b[i]最小值为1
for(j=0;j<i;j++)
if(a[i]>a[j]&&b[j]+1>b[i])
b[i]=b[j]+1;
}
for(max=i=0;i<n;i++)//求出整个数列的最长递增子序列的长度
if(b[i]>max)
max=b[i];
cout<<max<<endl;
}
return 0;
}
显然，这种方法的时间复杂度仍为o(n^2);
3、对第二种思路的改进：
第二种思路在状态转移时的复杂度为o(n),即在找a[k]前面满足a[j]<a[k]的最大b[j]时采用的是顺序查找的方法，复杂度为o(n).
设想如果能把顺序查找改为折半查找，则状态转移时的复杂度为o(lg(n)),这个问题的总的复杂度就可以降到nlg(n).
另定义一数组c,c中元素满足c[b[k]]=a[k],解释一下，即当递增子序列的长度为b[k]时子序列的末尾元素为c[b[k]]=a[k].
先给出这种思路的代码，然后再对其做出解释。
#include <iostream>
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//若返回值为x,则a[x]>=n>a[x-1]
{
int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;
while(left<=right)
{
if(n>a[mid]) left=mid+1;
else if(n<a[mid]) right=mid-1;
else return mid;
mid=(left+right)/2;
}
return left;
}
void fill(int *a,int n)
{
for(int i=0;i<=n;i++)
a[i]=1000;
}
int main()
{
int max,i,j,n,a[100],b[100],c[100];
while(cin>>n)
{
fill(c,n+1);
for(i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
c[0]=-1;// …………………………………………1
c[1]=a[0];// ……………………………………2
b[0]=1;// …………………………………………3
for(i=1;i<n;i++)// ………………………………4
{
j=find(c,n+1,a[i]);// ……………………5
c[j]=a[i];// ………………………………6
b[i]=j;//……………………………………7
}
for(max=i=0;i<n;i++)//………………………………8
if(b[i]>max)
max=b[i];
cout<<max<<endl;
}
return 0;
}
对于这段程序，我们可以用算法导论上的loop invariants来帮助理解.
loop invariant: 1、每次循环结束后c都是单调递增的。(这一性质决定了可以用二分查找）
2、每次循环后，c[i]总是保存长度为i的递增子序列的最末的元素，若长度为i的递增子序
列有多个，刚保存末尾元素最小的那个.（这一性质决定是第3条性质成立的前提）
3、每次循环完后，b[i]总是保存以a[i]结尾的最长递增子序列。
initialization: 1、进入循环之前，c[0]=-1,c[1]=a[0],c的其他元素均为1000,c是单调递增的;
2、进入循环之前，c[1]=a[0],保存了长度为1时的递增序列的最末的元素，且此时长度为1
的递增了序列只有一个，c[1]也是最小的;
3、进入循环之前，b[0]=1，此时以a[0]结尾的最长递增子序列的长度为1.
maintenance: 1、若在第n次循环之前c是单调递增的，则第n次循环时，c的值只在第6行发生变化，而由
c进入循环前单调递增及find函数的性质可知（见find的注释),
此时c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],所以把c[j]的值更新为a[i]后，c[j+1]>c[j]>c[j-1]的性质仍然成
立，即c仍然是单调递增的；
2、循环中，c的值只在第6行发生变化，由c[j]>=a[i]可知，c[j]更新为a[i]后，c[j]的值只会变
小不会变大，因为进入循环前c[j]的值是最小的，则循环中把c[j]更新为更小的a[i]，当
然此时c[j]的值仍是最小的;
3、循环中，b[i]的值在第7行发生了变化，因为有loop invariant的性质2，find函数返回值
为j有：c[j-1]<a[i]<=c[j],这说明c[j-1]是小于a[i]的，且以c[j-1]结尾的递增子序列有最大的
长度，即为j-1,把a[i]接在c[j-1]后可得到以a[i]结尾的最长递增子序列，长度为(j-1)+1=j;
termination: 循环完后，i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]的值均已求出，即以a[0],a[1],...,a[n-1]结尾的最长递
增子序列的长度均已求出，再通过第8行的循环，即求出了整个数组的最长递增子序列。
仔细分析上面的代码可以发现，每次循环结束后，假设已经求出c[1],c[2],c[3],...,c[len]的值，则此时最长递增子序列的长度为len,因此可以把上面的代码更加简化，即可以不需要数组b来辅助存储，第8行的循环也可以省略。
#include <iostream>
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//修改后的二分查找，若返回值为x，则a[x]>=n
{
int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;
while(left<=right)
{
if(n>a[mid]) left=mid+1;
else if(n<a[mid]) right=mid-1;
else return mid;
mid=(left+right)/2;
}
return left;
}
int main()
{
int n,a[100],b[100],c[100],i,j,len;//新开一变量len,用来储存每次循环结束后c中已经求出值的元素的最大下标
while(cin>>n)
{
for(i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
b[0]=1;
c[0]=-1;
c[1]=a[0];
len=1;//此时只有c[1]求出来，最长递增子序列的长度为1.
for(i=1;i<n;i++)
{
j=find(c,len,a[i]);
c[j]=a[i];
if(j>len)//要更新len,另外补充一点：由二分查找可知j只可能比len大1
len=j;//更新len
}
cout<<len<<endl;
}
return 0;
}