今天买了本《算法概论》影印注释版，仔细看了第一章，果然名不虚传，很是吸引人。
第一章的习题难度适中，这里抽出第35题来，这题是证明Wilson定理。
Wilson定理：
N是一个素数当且仅当: (N-1)! ≡ -1(mod N)
证明：
首先我们证明若N是素数，那么等式成立，对于N=2,这是很明显的。以下证明N>2 的情形。
1）若N是素数，那么关于N同余的乘法群G={1,2,3....N-1}
群G每个元素都有逆元，映射 f:a -> a^-1 ，f(a)=a^-1 是一个一一映射。现在，任取一个元素，它的逆元要么是其它一个元素，或者是它本身。 我们假设其中元素x的逆元是它本身，那么x*x ≡1(mod N) =>(x+1)*(x-1)=K*N,而N是素数，所以要么x=N-1,要么x=1。也就是说，除了这两个元素，其它的元素的逆元都是映射到别的元素的。而N>2,是奇数，所以元素共有N-1个，也就是偶数个元素。这样，除了1和N-1外剩余的N-3个元素刚好结成两两一对(x,y)(逆元是唯一的）使得f(x)=y=x^-1,也就是xy≡1(mod N).
现在把G的元素全部乘起来，让互为逆元的元素组成一对那么(N-1)!=1*(N-1)*(x1*y1)*(x2*y2)...(xk*yk)≡1*(N-1)*1*1...1 (mod N)≡-1(mod N).
这样，我们证明了一个方向了，下面我们证明另一个方向
2）若(N-1)! ≡ -1(mod N)成立，则N是素数，若不然，令 N是和数。则(N-1)!肯定整除N,因为N的每个因子p满足p>1,p<N。
现在令(N-1)!=K1*N.又(N-1)! ≡ -1(mod N) => K1*N ≡ -1(mod N),由同余性质知，存在K2使得K1*N+1=K2*N,两边同时除以N得K1+1/N=K2.显然，这是不可能的，所以若(N-1)! ≡ -1(mod N)成立，则N是素数
证明完毕！
这里用群的概念能够简化一定的描述，其实可以完全不用群的概念的，只不过这样一来，描述更长点，繁琐点！