函数依赖
1.函数依赖定义
A－> B，即
“
A函数决定B
”
，A称为决定因素。
2．关系的键码、超键码
属性函数决定关系R的所有其它属性，并且该属性的任何真子集都不能函数决定R的所有其它属性，则属性是键码。 键码必须是最小的。
包含键码的属性集称为
“
超键码
”
。每个键码都是超键码。
例题：
已知关系R包含属性{A，B，C，D}，R的键码为{A，B}，则下面的选项哪1个是R
的超键码( )。
A．{A} B．{C，D} C.{A,B,C,D} D.{B,C,D}
答案：C
3.几个概念
平凡依赖：如果B是A的子集，则称该依赖为平凡的。
非平凡依赖：如果B中至少有一个属性不在A中，则称该依赖为非平凡的。
完全非平凡依赖：如果B中没有一个属性在A中，则称该依赖为完全非平凡的。
平凡依赖规则：函数依赖A1A2
…
An
→
B1B2
…
Bm等价于A1A2
…
An
→
C1C2
…
Ck，其中 C是B的子集，但不在A中出现。称这个规则为
“
平凡依赖规则
”
。
4．传递规则
如果A1A2
…
An
→
B1B2
…
Bm和B1B2
…
Bm
→
C1C2
…
Ck，在关系R中成立，则A1A2
…
An
→
C1C2
…
Ck在R中也成立。这个规则就称为传递规则。
例题：
现给定一个关系R的实例如下表，则可能是函数依赖的是( B )．
|
Fl
|
F2
|
R
|
F。
|
F5
|
|
李华
|
20020330
|
H
|
1
|
lO
|
|
金谦
|
20020330
|
0
|
1
|
5
|
|
李华
|
20020218
|
O ·
|
3
|
15
|
|
吕宋
|
200201]5
|
H
|
2
|
5
|
|
顾小华
|
20020218
|
O
|
1
|
20
|
A.F1
→F2 B.F1F2→F5
C．F3 F4→F5 D.F2F3→F4
学习要点二
1. 函数依赖集：假设{A1，A2，
…
，An}是属性集，记为A，S是函数依赖集。
属性集A在依赖集S下的封闭集是这样的属性集X，它使得满足依赖集S中的所有依赖的每个关系也都满足A
→
X。
A1A2
…
An
→
X是蕴含于S中的函数依赖。
２．封闭集：
对于给定的函数依赖集S，属性集A函数决定的属性的集合就是属性集A在依赖集S下的封闭集。
学会计算某属性集的封闭集，可以根据给定的函数依赖集推导蕴含于该依赖集的其他函数依赖。
例题：
假设关系模式为R(A，B,C，D)，函数依赖为A→B，B→C和B→D。
(1)求蕴含于给定函数依赖的所有非平凡函数依赖；
(2)求R的所有键码；
(3)求R的所有超码(不包括键码)。
参考答案：
(1)先求各种属性组合的封闭集，再从中找出新的函数依赖。
A+=ABCD B+=BCD C+=C D+=D
A→C，A→D (2)
AB+==ABCD AC+==ABCD AD+=ABCD BC+=BCD BD+=BCD
CD+=CD
AB→C，AB→D AC→B，AC→D AD→B，AD→C BC→D BD→C
ABC+=ABCD ABD+=ABCD BCD+=BCD
ABC→D ABD→C
ABCD+=ABCD
蕴含于给定函数依赖的非平凡函数依赖共12个。
(2)A为键码。
(3)AB，AC，AD，ABC，ABD，ABCD为超键码。
学习要点三
1. 几个概念
l
主属性：键码所在的属性称为主属性。
l
主属性：键码所在的属性称为主属性。
l
非主属性：键码属性以外的属性称为非主属性。
l
非主属性：键码属性以外的属性称为非主属性。
l
完全依赖：对于函数依赖W
→
A，如果存在V是W的真子集而函数依赖
V
→
A成立，则称A部分依赖于W；若不存在这种V，则称A完全依赖于W。
l
传递依赖
对于函数依赖X
→
Y，如果X不函数依赖于Y，而函数依赖Y
→
Z成立，则称Z对X传递依赖。
学习要点四
1.第一范式（1NF）
如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则这个关系属于第一范式。
2．第二范式（2NF）
若关系模式R属于第一范式，且每个非主属性都完全函数依赖于键码，则R属于第二范式。
例题：学生关系模式Student（Sno，Sname，Sdept，Mname，Cname，Grade）。
•该关系模式存在如下部分依赖：
Sno，Cname
→
Sname，Sdept，Mname
不满足
“
每个非主属性都完全函数依赖于键码
”
的条件。学生关系模式不属于第二范式。
3.第三范式（3NF）
若关系模式R属于第一范式，且每个非主属性都不传递依赖于键码，则R属于第三范式。
4.BC范式（BCNF）
若关系模式R属于第一范式，且每个属性都不传递依赖于键码，则R属于BC范式。
BC范式的条件表述：
l
每个非平凡依赖的左边必须包含键码；每个决定因素必须包含键码。
l
BC范式既检查非主属性，又检查主属性。
例题：
写出3个关系模式分别满足：
(1)是1NF，不是2NF；
(2)是2NF，不是3NF；
(3)是3NF，也是BCNF。
各用两句话分别说明所写的关系模式是前者，不是(或也是)后者。
答：(1)学生选课(学号，姓名，课程号，成绩)
属性不可分，是1NF；存在非主属性对键码的部分依赖(学号，课程号→姓名)，不
是2NF。
(2)学生(学号，姓名，系别，系主任)
键码为单属性，不存在部分依赖，是2NF；存在非主属性对键码的传递依赖(学号→
姓名，系别；系别≯学号；系别→系主任；学号传递→系主任)，不是3NF。
(3)学生(学号，姓名，年龄)
非主属性(姓名，年龄)对键码不存在部分依赖和传递依赖，是3NF；
主属性(学号)对键码也不存在部分依赖和传递依赖，是BCNF。
学习要点五
1.模式分解的三种方法
1）部分依赖归子集；完全依赖随键码。
关系模式
“
升级
”
第二范式：消除非主属性对键码的部分依赖。
解决的办法：对原有模式进行分解。
分解的关键：找出对键码部分依赖的非主属性所依赖的键码的真子集，把这个真子集与所有相应的非主属性组合成一个新的模式；对键码完全依赖的所有非主属性则与键码组合成另一个新模式。
2）基本依赖为基础，中间属性作桥梁
关系模式
“
升级
”
第三范式：消除非主属性对键码的传递依赖。
解决的办法：以构成传递链的两个基本依赖为基础形成两个新的模式，切断传递链，保持两个基本依赖，有中间属性作为桥梁，跨接两个新的模式，实现无损的自然连接。
3）找违例自成一体，舍其右全集归一
关系模式
“
升级
”
BC范式：消除非主属性对键码的部分依赖和传递依赖，消除 主属性对键码的部分依赖和传递依赖。
解决的办法：对关系R(A,B,C)，若存在BCNF的违例A
→
B ，则R分解为
R1(A,B) R2(A,C)， R1,R2则为BCNF.
例题：
关系模式为R(A，B，C，D)，函数依赖为AB→C，C→D和D→A。
(1)找出所有违背BCNF的函数依赖。提示：应该考虑不在给定的依赖集但蕴含于
其中的依赖；
(2)关系模式R分解成属于BCNF的关系模式的集合。
参考答案：
(1)参看主教材P．122例6．1，共有14个非平凡函数依赖(包括已知的和导出的)
C→A，C→D，D→A
AB→C，AB→D，AC→D，BC→A，BC→D，BD→A，BD→C，CD→A
ABC→D，ABD→C，BCD→A
共有3个键码：AB，BC，BD
其决定因素不包含键码的函数依赖即为BC范式的违例，如下所示：
C→A，C→D，D→A，AC→D，CD→A
(2)以违例C→D为基础进行分解：
Rl(C，D)，R2(A，B，C)
R1属于BC范式。
R2有函数依赖C→A，AB→C，BC→A
AB+=ABC．BC+=ABC
AB，BC均为键码。
函数依赖C→A为BC范式违例。于是R2又可分解为：
R3(A，C)，R4(B，C)
至此，R分解为R1，R3，R4，均属于BC范式。