一,两个数的最大公约数:
1、欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为:
void swap(int & a, int & b){
int c = a;
a = b;
b = c;
}
int gcd(int a,int b){
if(0 == a ){
return b;
}
if( 0 == b){
return a;
}
if(a > b){
swap(a,b);
}
int c;
for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b){
a = b;
b = c;
}
return b;
}
2、Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,它无论从理论还是从效率上都是很好的。但是有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位,对于这样的整数,计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的
模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过
64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算
128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J. Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:
gcd(a,a) = a,也就是一个数和它自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除
C++/java 实现
// c++/java stein 算法
int gcd(int a,int b){
if(a<b){//arrange so that a>b
int temp = a;
a = b;
b=temp;
}
if(0==b)//the base case
return a;
if(a%2==0 && b%2 ==0)//a and b are even
return 2*gcd(a/2,b/2);
if ( a%2 == 0)// only a is even
return gcd(a/2,b);
if ( b%2==0 )// only b is even
return gcd(a,b/2);
return gcd((a+b)/2,(a-b)/2);// a and b are odd
}
二,多个数的最大公约数:(python实现:取出数组a中最小的,从2到最小的循环,找出其中最大的能被数组中所有数整除的那个数,就是最大公约数)
def gcd(a):
a.sort()
min = a[0]
result = 1
for i in range(2, min+1):
flag = True
for j in a:
if j % i != 0:
flag = False
if flag == True:
result = i
return result
posted on 2007-12-15 15:40
保尔任 阅读(4661)
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Arithmetic & Data Structure