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一,两个数的最大公约数:

1、欧几里德算法


欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:

定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为:

void swap(int & a, int & b){
     int c = a;
       a = b;
       b = c;
}

int gcd(int a,int b){
     if(0 == a ){
         return b;
     }
     if( 0 == b){
         return a;
     }
     if(a > b){
         swap(a,b);
     }
     int c;
     for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b){
           a = b;
           b = c;
     }
     return b;
}

2、Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,它无论从理论还是从效率上都是很好的。但是有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。

考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位,对于这样的整数,计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的 模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过 64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算 128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

Stein算法由J. Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:

gcd(a,a) = a,也就是一个数和它自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除

C++/java 实现

// c++/java stein 算法
int gcd(int a,int b){
     if(a<b){
//arrange so that a>b
         int temp = a;
           a = b;
           b=temp;
     }
     if(0==b)
//the base case
        return a;
     if(a%2==0 && b%2 ==0)
//a and b are even
         return 2*gcd(a/2,b/2);
     if ( a%2 == 0)
// only a is even
         return gcd(a/2,b);
     if ( b%2==0 )
// only b is even
         return gcd(a,b/2);
     return gcd((a+b)/2,(a-b)/2);
// a and b are odd
}

二,多个数的最大公约数:(python实现:取出数组a中最小的,从2到最小的循环,找出其中最大的能被数组中所有数整除的那个数,就是最大公约数)
def gcd(a):
    a.sort()
    min = a[0]
    result = 1
    for i in range(2, min+1):
        flag = True
        for j in a:
            if j % i != 0:
                flag = False
        if flag == True:
            result = i
    return result
posted on 2007-12-15 15:40 保尔任 阅读(4661) 评论(2)  编辑  收藏 所属分类: Arithmetic & Data Structure

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# re: 求两个数或多个数的最大公约数算法及其实现
2008-02-16 02:20 | no name
传说 欧几里德算法 一行就可以搞定了
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}  回复  更多评论
  
# re: 求两个数或多个数的最大公约数算法及其实现
2008-02-16 02:22 | 偶尔郁闷
对于N个数的话……做N-1次欧几里德应该会更快些

你这种做法 如果有100000个数 分别是1000000 或 2000000 那将是很恐怖的事情
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