S(n)拆成数字排成的直角三角形：
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
……
n n …… n
这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和
注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的：
1 1 1 …… 1
2 2 2 …… 2
3 3 3 …… 3
4 4 4 …… 4
……
n n n …… n
这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2
而我们补上的数字是哪些呢？
1 1 1 …… 1 (n-1)个的1
2 2 …… 2 (n-2)个的2
3 …… 3 (n-3)个的3
………
n-1
又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2]
将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得
T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2
=S(n-1)/2+(n-1)*n/4
=S(n-1)/2+n2/4-n/4
也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)
=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4
=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……①
因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2
可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到
S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2
3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4
3S(n)=n3+3n2/2+n/2
S(n)=n3/3+3n2/6+n/6
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